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对于非负整数和，二项式系数定义为的多项式展开式中，项的系数，即
此数的另一出处在组合数学，表达了从物中，不计较次序取物有多少方式，亦即从一元素集合中所能组成元素子集的数量。此定义与上述定义相同，理由如下：若将幂的个因数逐一标记为（从1至），则任一元素子集则建构成展式中的一个项，故此该单项的系数等如此种子集的数量。亦因此，就任何自然数和而言，亦为自然数。此外，二项式系数亦见于很多组合问题的解答中，如由个位元（如数字0或1）组成的所有序列中，其和为的数目为，又如算式，其中每一均为非负整数，则有种写法。这些例子中，大部分可视作等同于点算个元素的组合的数量。
除展开二项式或点算组合数量之外，尚有多种方式计算的值。
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安见宗房的居城饭盛城立即遭到三好长庆攻陷，并成了长庆的居城。但畠山高政与宗房很快的在隔年达成和睦，畠山氏更因此有了攻击三好长庆的口实。接著高政联合了宗房、汤川直光等有力部将，开始了与三好长庆的对抗。永禄5年（1562年），近江的六角义贤（承祯）送来了包围三好的军事同盟提案。（一说此事其实是由谋求复兴幕府权威的足利义辉所策划。）于是，六角氏与畠山氏组成联盟，开始讨伐三好氏。
初期，由畠山联军取得优势，大和国随后发生反三好氏的一揆暴动。永禄5年（1562年）3月5日，畠山军在久米田之战中讨死三好义贤，声势大振，三好军开始撤退，并紧急召集丹波、摄津等地的势力参战。畠山军趁势扫荡了南河内的三好势力，并向北推进，在4月5日对三好长庆所在的饭盛城展开了包围。4月中，来自丹波、摄津等地的军势加入三好方。5月中三好一门众号称5万的大军亦赶到，使畠山高政不得不解除包围，5月17日两军在教兴寺周边展开对峙。
三好方在久米田之战后重整态势，重新占得优势。起初畠山方虽能以压倒性兵力包围饭盛城，但在三好义兴等人紧急征召摄津及丹波国势力参战下，到了在教兴寺对阵时，三好已达到六万的军力，相对于畠山的四万，重新取得绝对的兵力优势，然而拥有4000柄火绳枪的杂贺众、根来众仍是三好军最大的威胁。
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