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托罗普施出生于普拉纳市，Sudet-German波希米亚，当时是奥匈帝国的一部分，现在是捷克共和国。 1907年至1913年，他就读于布拉格的德国查尔斯-费迪南德大学和布拉格的德国技术大学。他因与汉斯·迈耶 (Hans Meyer) 的合作而获得博士学位。

托罗普施于 1916 年至 1917 年在米尔海姆的一家染料厂工作，然后在威廉皇帝煤炭研究所工作了几个月。从 1917 年到 1920 年，托罗普施在尼德奥的 Rütgers 公司的焦油蒸馏厂工作，但在 1920 年回到威廉皇帝煤炭研究所，一直待到 1928 年。他在那里与弗朗兹·费歇尔 (Franz Fischer) 和 Otto Roelen 一起工作。正是在这段时间里，费托合成工艺的突破性发明获得了专利。

1928 年，托罗普施成为在布拉格的新成立的煤炭研究所的教授。后来，他于 1931 年在美国万国油品实验室和在芝加哥的伊利诺理工学院任职。由于重病，特罗普施于1935年返回德国，抵达后不久在在埃森市的一家医院去世。

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自然音阶的第一个音，为主音（Tonic）。主音即为调性中心，即为最稳定的音。例如在C大调音阶中，C、E、G三个音起着中心的稳定作用，而B、D、F、A四个音，则起着不稳定的作用。不稳定的音围绕着稳定的音在进行。在三个稳定音中，其稳定程度也是不同的，其中最稳定的音，就叫做“主音”。

在大小调中，主音的音名即为调名，例如升F大调的主音就是F♯。大部分音乐作品皆为以主音开始并以主音结束，但是在少部分情况下还是会使用主音以外的音作为结尾。

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正方形-二阶三角形镶嵌与二阶正方形-三角形镶嵌相似，只差再重复的重负担圆从正方形变为正三角形。此类镶嵌也可以视为正方形镶嵌的局部与正三角形镶嵌的局部交错组合。

正方形-二阶三角形镶嵌的对偶镶嵌是六边形-柱形五边形镶嵌，也可以视为柱形五边形镶嵌的变体。

正方形-三阶三角形镶嵌是一种复合正多边形密铺，其为Krötenheerdt提出的较有系统的不均匀半正镶嵌图之一。其中二阶并非是二阶镶嵌的二阶，而是指该镶嵌是由二排正方形和一排三角形交错排列而成。

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