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考虑的一个仅得个交叉的画法。可以在每个交叉删走其中一条边，从而消除所有交叉。于是，剩下的边组成一幅平面图（因为不再有交叉），其边数至少为，顶点数则仍旧为。根据平面图的欧拉公式，，所以上述估计成立。（更准确来说，对于，有。）
有了上述引理，就可以利用probabilistic method证明原来的交叉数不等式。设为待定的概率参数，依如下步骤构造的随机子图：1. 以概率独立随机选取的各个顶点；2. 若中一条边的两个顶点皆被选中，则在子图中构造连接这两个顶点的边。分别以、和表示的边数、顶点数和交叉数。由于是的子图，的画法已含有的画法。由引理，得
由于中每个顶点选入中的概率为，有。类似知中每条边入选的概率为（因为其两端皆要入选），所以。最后，在的画法中，每个交叉有的概率落入，因为每个交叉牵涉四个顶点。（若从同一个顶点出发画出两条边有交叉，则不妨将两条边第一次相交以后的部分对调，从而令交叉的数目变少。由于所考虑的画法仅得个交叉，无法再减少交叉，所以每个交叉必由两条无公共端点的边组成。）因此，，于是上式可写成
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机场前站是昆明轨道交通6号线的一个站点，位于昆明新航空港规划地块内。此站作为机场中心站的前一站，因此得名机场前站，正式定名前又名航空港前站或综合交通枢纽站。机场前站于2011年8月开工建设，2012年6月28日6号线开通运营，但本站暂不办客。2017年8月29日，本站随停运改造完成后的6号线一同开通运营。
机场前站距离机场中心站约3公里，从外部看由一个半椭形透明建筑和黄色墙体建筑相连构成，正对出入口处有两根伞状立柱。该站主要供新机场工作人员上下班使用。站厅共有两个出入口，设有检票系统，顶棚和周围墙体大部分采用通透设计。大厅中央处设有无障碍升降梯，步行楼梯及自动扶梯。
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* 772年，卢龙节度孔目官李怀瑗杀节度使朱希彩，拥立经略副使朱泚，唐朝即任朱泚为节度使。
* 774年，卢龙节度使朱泚入朝，由其弟朱滔继任节度使。
* 774年，法兰克国王查理曼进军义大利半岛，收义大利北部入版图。
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