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设为微分流形，为上一点。利用上的仿射联络，可以定义过点的测地线。
设为于点的切向量，则独有一条测地线满足，而初始切向量为。对应的指数映射由
定义。一般而言，指数映射不必在全个有定义，而衹有局部定义，即定义域是原点的小邻域，映到在流形上的某邻域内。原因是，测地线之所以存在（和唯一），藉赖常微分方程解的柯西-利普希茨定理，但该定理是仅在局部成立。若指数映射在切丛处处有定义，则该线性联络称为完备。
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八代女王（生卒年不详），又称矢代女王，日本飞鸟时代皇族，圣武天皇的妃嫔，实际的妃嫔位号不明。
关于她生平的资料很少，一般认为她是三世至五世皇族的后裔。据《续日本纪》记载，她在天平九年（737年）二月十四日（日本旧历）由无官位突然叙位正五位上，反映她当时正受圣武天皇的宠爱。可是，圣武天皇崩御后的天平宝字二年（758年）十二月八日（日本旧历），她却由从四位下被废。《续日本纪》记载被废原因是她受圣武天皇宠爱却不忠于天皇（「被幸先帝而改志」）。史籍上除了提及她后来改嫁外再没有其他记述。
《万叶集》卷第四存有一首由八代女王所作，献给圣武天皇的诗歌。
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* 安大略省（雷湾以西地区除外，但包括阿蒂科肯）
* 佛罗里达州（邻近亚拉巴马州的西部边境地区除外）
* 密歇根州（戈吉比克县、艾恩县、迪金森县和梅诺米尼县除外）
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