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当然本身，和子空间，是每个线性算子的平凡不变子空间。对于特定的线性算子，可能没有非平凡的不变子空间；譬如考虑二维实向量空间的旋转。

另一个例子是：令为的一个特征向量，也即。则是不变的。

进一步扩展这个例子，我们可以证明每个在一个至少两维的复有限维向量空间的每个线性算子有一个非平凡的不变子空间：的特征值是的特征多项式的零点，而该多项式根据代数基本定理总是有零点的；然后我们可以取对应于该特征值的一个特征向量张成的空间。这个证明在实数域上不成立，因为不是所有实多项式都有一个实根。

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1950年，桥本宇太郎在第5期本因坊挑战赛上4比0完胜岩本薰，夺回失落两期的桂冠。次年，坂田荣男挑战本因坊，因桥本作为头衔保持者刚创立了与日本棋院对立的关西棋院，使得这场较量极为棋界关注。桥本在1比3的绝境中七番棋反败为胜，为关西棋院立足赢得了宝贵时间。因此1952年，当高川格获得第七期本因坊战的挑战权时，日本棋院大感失望，认为平凡的高川根本无法为日本棋院夺回本因坊头衔。

当时高川格37岁，已经在七段位置上呆了八年之久，给人停滞不前之感，这样的棋手怎能撼动精神力超群的桥本的本因坊宝座？七番胜负第一局，高川在最后看错了棋，中盘落败，这使得更多人看衰他的挑战前景。意想不到的是，自第二局起，整个挑战赛完全进入了高川的步调，随即以四连胜终结比赛。桥本事后回忆，他“在高川软绵绵的风格面前根本找不到节奏，用力击出的拳头都如同打在棉花上。”高川格就此迈入了日本超一流棋手的行列之中。

塑造高川格棋风的是当时流行的“新布局”，其第四线作为主体的下法是爱好厚势的高川格所乐于接受的。之外，他的棋风也受到本因坊秀荣的影响，有“流水不争先”之称，并不嗜杀，但极有韧性。他曾说：“我摆秀荣的棋，越研究越有兴趣，从表面上看来是流水般的进行，但隐藏着无比的威力”，他受到秀荣的影响很大，他说“秀荣的棋非常理想，合乎我的胃口”。吴清源曾评价说：“如果说林海峰是二枚腰，那么击败他的高川格就是三枚腰”。

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