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* 的紧子集只能是可数集（允许是有限集）。要证明此结论，考虑非空紧集 . 取定 , 考虑 的开覆盖：
由于 为紧，此开覆盖具有有限子覆盖，故存在实数 使得区间 不含 除 以外的点。这对任意 为真。现选取有理数 . 对不同的 , 区间 两两不交，故函数 为单射，故 至多可数。
* 「下限拓扑」得名自以下性质： 中的序列（或网） 收敛到 当且仅当其「从右接近 」，即对任意的 ，均存在下标 使得 . 因此可用于研究单侧极限：对函数 , 于 之右极限（假定陪域具有标准拓扑），等于定义域在下限拓扑下 于 之一般极限。
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1901年（日治明治三十四年）11月，全台废县厅改设二十厅，该庄隶属于斗六厅。1903年（明治三十六年）6月，该庄编入「元长区」，隶属于斗六厅。1909年（明治四十二年）10月，合并二十厅为十二厅，元长区改隶属于嘉义厅。1920年（大正九年），全台地方制度大改正，废十二厅改设五州二厅，该庄改制并雅化为「五块寮」大字，隶属于台南州北港郡（新制）元长庄。
战后元长庄改制为元长乡，隶属于台南县，大字亦改制为村。1950年10月，云、嘉、南分治，元长乡改隶属云林县。
本地区发展较早的聚落为五块藔，在日治期初期的官方地图上已有记载。此外，本地区尚有山寮、北水门等聚落。
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长孙翰，一作长孙汗，鲜卑姓拔拔氏，代人，蓝田侯长孙肥子。
长孙翰有父风，道武帝拓跋珪时，长孙翰以善骑射为猎郎。天赐五年（408年），长孙肥卒，袭爵蓝田侯。次年，拓跋珪被害，其子拓跋嗣在外，长孙翰与拓跋磨浑等迎立拓跋嗣为明元帝，长孙翰以功为散骑常侍。以功转任平南将军。率军镇守北境，防备柔然，威名甚著，进爵为蓝田公。长孙翰清正严明，善抚将士。后为都督北部诸军事、平北将军。魏太武帝时，长孙翰回到平城，以战功封平阳王，加安集将军。始光元年（424年），从征柔然，率北部诸将从参合陂攻打柔然别将阿伏干，斩首数千级，获得战马万余匹。次年，和东平公娥清出长川追击柔然可汗大檀，有战功，官至司徒。始光四年（427年），攻打夏国赫连昌，和廷尉长孙道生追击赫连昌到高平。后来击败柔然可汗大檀的弟弟匹黎，奉诏镇抚安置在漠南的柔然百姓。长孙翰死后，谥号威。
* 长孙侯，北魏冠军将军、散骑常侍、殿中尚书、竟陵侯
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