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利用隐函数定理将曲面用二元函数f的图像来表示，并且假设点p为临界点，也即f在该点的梯度为0（这总是可以通过适当的刚体运动来实现）。然后p点的高斯曲率就是f在点p的黑塞矩阵（二阶导数组成的2x2矩阵）的行列式。这个定义只要用基本的微积分知识就可以理解杯底或者帽顶“对应”鞍点的区别。

曲面上某个区域的高斯曲率的曲面积分称为总曲率。测地三角形（即黎曼球面几何中的三角形）的总曲率等于它的内角和与的差。正曲率曲面上的三角形的内角和大于，而负曲率曲面上的三角形的内角和小于。零曲率曲面上（如欧几里得平面），其内角和等于。

高斯的绝妙定理断言曲面的高斯曲率由曲面上长度的测量本身决定。事实上，它完全由第一基本形式决定并且可以用第一基本形式及其一阶和二阶偏导数表达。等价地，嵌入在R3中的曲面的第二基本形式的行列式也可以这样表达。定理的"绝妙"之处在于，虽然R3中的曲面S上的高斯曲率的定义明显依赖于曲面各点在空间中的定位，而高斯曲率本身只要曲面上的内在度量就可以决定，而与环境空间没有进一步的关联：它是一个内蕴不变量。精确地讲，高斯曲率在曲面的等度变换下保持不变。

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左冠明，男，意大利佛教研究学者，牛津大学贝利奥尔学院研究员。

1968年生于意大利。1986年进入威尼斯大学，学习汉语、梵语和东亚文化。1990年至1992年在中国四川大学留学。1999年获哲学博士学位，后在帕多瓦大学教授汉学。2001年前往日本创价大学国际佛教学高等研究所，担任副教授。2005年至2012年在母校威尼斯大学工作。2011年在美国加利福尼亚大学柏克莱分校担任访问学者。2012年受聘为英国牛津大学沼田恵范佛教学讲座教授、牛津大学贝利奥尔学院研究员。2020年4月29日逝世，享年52岁。

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所有的摩根马都能追溯到一个共同的祖先，这是一匹Stallion，名为Figure，于1789年出生在西斯普林菲尔德 (马萨诸塞州)。1792年，他被作为债务，偿还给了一个名叫贾斯汀·摩根的人。后来，该马被以该主人的名字称呼，而“贾斯汀·摩根马”也演变成为该品种的名字。Figure被认为站立高度约 hands，重约 kg。它以才能出众而闻名，它具有与众不同的外观、体型、性情和运动能力。人们并未摸清它确切的谱系图，尽管人们为此付出了巨大的努力。一位历史学家指出，它的父亲也许是一匹名为美丽港湾（Beautiful Bay）的纯种马，关于这个可能性的著作将能“写出41部侦探小说，并能申请‘说谎者俱乐部’（Liars' Club）的会员资格。”1821年，Figure被另一匹马踢到，之后伤重不治。他被安葬在Tunbridge, Vermont。

尽管Figure被广泛用作种马，但它只有六个儿子有据可查，其中三匹成为了摩根马品种有名的Foundation stock。伍德伯里（Woodbury）是一匹栗色马，身高 hands，在新英格兰处于血统的位置上多年。芦苇（Bulrush）是一匹暗枣色马，与Figure的身高相同，以其在Harness racing上的耐力和速度而著称。最著名的是谢尔曼（Sherman），它是另一匹栗色种公马，比Figure略矮。Figure的儿子黑鹰生于1833年，后来成为标准马、American Saddlebred和Tennessee Walking Horse等品种的基础种马，并以其在轻驾车赛上的不败战绩而闻名。黑鹰的儿子伊桑·艾伦于1849年出生，是摩根马品种历史上的另一匹重要的血统基础马，并以其在小跑比赛中的速度而闻名。

在19世纪，摩根马被认为具有实用的能力。由于该马种拉车的速度和耐力，它们被广泛用于轻驾车赛和Coach (carriage)拉力赛。它们还被用于放牧、日常骑马和拉轻型车等工作。加利福尼亚淘金潮（1848–1855）中的矿工也使用该品种，军队在南北战争期间及之后也使用该品种来骑乘和拉车。

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