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现在要离散化问题，这会产生问题，其中 表示离散化的点数。为了方便起见，有需要证明下式成立：
在1960年代Kalman等人就已证明要求解会非常的困难。此困难性称之为「复杂度咒诅」（curse of complexity），是「维度咒诅」（dimensionality）的互补。
在1990年代开始的一系列论文中，Ross和Fahroo证明有更简单求解问题（因此也包括问题）的方法，作法是先进行离散化（问题）再进行对偶（问题）。此作法需要很小心的进行，以确保解的一致性及收敛。伴随向量映射原理确保可以找到一个伴随向量的映射律，将问题的解映射到问题的解。
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有了上述引理，就可以利用probabilistic method证明原来的交叉数不等式。设为待定的概率参数，依如下步骤构造的随机子图：1. 以概率独立随机选取的各个顶点；2. 若中一条边的两个顶点皆被选中，则在子图中构造连接这两个顶点的边。分别以、和表示的边数、顶点数和交叉数。由于是的子图，的画法已含有的画法。由引理，得
由于中每个顶点选入中的概率为，有。类似知中每条边入选的概率为（因为其两端皆要入选），所以。最后，在的画法中，每个交叉有的概率落入，因为每个交叉牵涉四个顶点。（若从同一个顶点出发画出两条边有交叉，则不妨将两条边第一次相交以后的部分对调，从而令交叉的数目变少。由于所考虑的画法仅得个交叉，无法再减少交叉，所以每个交叉必由两条无公共端点的边组成。）因此，，于是上式可写成
若图的围长大于且，2000将不等式改进成
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克伦斯基－克拉斯诺夫起义是指亚历山大·克伦斯基在布尔什维克推翻彼得格勒临时政府后，寻求重新恢复临时政府的一系列行动。
十月革命后，克伦斯基逃离彼得格勒后就前往普斯科夫；克伦斯基在那里召集了忠于他的军队，并且试图借此夺回首都。他任命彼得·尼古拉耶维奇·克拉斯诺夫领导这支军队；克伦斯基的军队先是占领了沙尔斯科耶塞洛，但第二天就在普尔科沃高地被打败了。起义失败后，克伦斯基流亡国外，最终在法国与后来的美国寻求庇护，最终在美国定居了下来。
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