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该问题的一个显而易见的下界是,即单位半径半圆盘沙发的面积。这种形状的沙发可以在L型通道的拐角处旋转90度后通过。
数学家John Hammersley根据上面这种最简单的情形推导出了一种类似形状的沙发,将下界提高到了。这种沙发状如电话听筒,由一个长为,宽为1的矩形的长边上挖去一个半径为的半圆,再在其两条短边上各接一个单位半径的四分之一圆盘得到。
1992年,罗格斯大学的约瑟夫·热弗提出了一种由18条光滑曲线围成的沙发,将沙发常数的下限增加到大约2.2195。
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佩德罗·塞拉诺与难友共处了四年后,终于有一艘船驶近该岛时,派出小船迎接他们。佩德罗·塞拉诺二人当时全身都长满毛发,就靠背诵经义及呼喊「耶稣」名字,令水手辨认出他们。
佩德罗·塞拉诺的难友在回西班牙的途中死于海上,而佩德罗·塞拉诺就回到西班牙,后又前往神圣罗马帝国(德国)觐见皇帝卡洛斯一世(卡洛斯一世是兼治西班牙及神圣罗马帝国的君主)。觐见时,他的满身毛发并没有修剪,以作为他流落荒岛的证据。皇帝对他进行了赏赐。不久,佩德罗·塞拉诺在巴拿马去世。
后人为纪念佩德罗·塞拉诺的事迹,便把他曾流落的荒岛命名为塞拉纳岛(Serrana Bank),而附近的一个岛则称为小塞拉纳岛(Serranilla Bank)。
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《重庆条约》,或称《烟台续增重庆条约专条》、《烟台条约续增专条》,为光绪十六年(1890年)3月31日,英驻华公使华三(Fohn Washam)与总理各国事务衙门庆亲王奕劻签定重庆条约六款,其中规定:“一、重庆即准作为通商口岸无异;二、英商自宜昌至重庆往来运货,或雇佣华船,或自备华式之船,均听其便……”
1869年,英国曾派遣一个海军小组勘测宜昌到重庆的航道,为重庆开埠进行可行性论证,但因为滩多水急、行船太难而被迫停止;1876年9月13日,《烟台条约》正式签署,并很快得到清政府批准,其中“通商事务”有一条规定“又四川重庆府可由英国派员驻寓,查看川省英商事宜。轮船未抵重庆以前,英国商民不得在彼居住,开设行栈,俟轮船能上驶后,再行仪办”,此条确定了重庆开埠的前提条件。
因上述条约要求先将轮船开至重庆,再议通商事宜,英国极力支持本国轮船主尽快把轮船开到重庆,船主立德乐(Alicia Little)则于1885年向清政府申请宜昌、重庆之间航行执照,并于2年后办航运公司准备试航,为此,中英间再次开始谈判,后于1890年3月31日,《烟台条约续增专条》正式签订,次年3月1日,重庆对外开埠并设关。1898年3月,立德乐率“利川”轮开到朝天门,开埠条件满足,重庆被迫辟为通商口岸。
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