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永禄6年（1563年）将家督之位让给长子具房隐居，但仍掌握实权。
永禄11年（1568年）织田信长开始进攻伊势，将神户氏、长野工藤氏等伊势中北部豪族置于其支配之下。织田信长将北畠氏视为其上洛的障碍，因此在永禄12年（1569年）开始进攻北畠氏。北畠军与织田军实力相差悬殊，且具教的弟弟木造具政倒戈织田，在如此恶劣的情况下具教死守大河内城（今三重县松阪市）达50余日，最终有条件地开城投降。其条件是让信长的次子茶筅丸（即后来的织田信雄）成为北畠具房的养嗣子，同时具教将自己的女儿雪姬嫁给了茶筅丸（大河内城之战）。
此后具教在元龟元年（1570年）5月出家，法号天觉，、后改不智斋，隐居于三濑谷（今三重县多气郡大台町）。天正4年（1576年）11月25日，织田信长与织田信雄指使北畠氏的旧臣长野左京亮、加留左京进等人袭击具教，具教同儿子德松丸、龟松丸以及大桥长时、松田之信、上杉赖义等家臣一起被杀害，享年49岁。同时长野具藤等与北畠氏相关的主要人物在信雄的居城田丸城中被杀害，大名北畠氏的地位为织田氏所取代暗杀具教（三濑之变）。
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伴随向量映射原理（covector mapping principle）是泛函分析的基础定理里斯表示定理中的一个特例。名称是由Ross和其工作伙伴所命名。伴随向量映射原理提供了运算型最优控制中，可以将离散化和对偶性（dualization）交换顺序的条件。
假设要将庞特里亚金最大化原理应用在问题，会从给定的最佳控制问题产生一个边值问题。依照Ross的论点，此边值问题是庞特里亚金提升（Pontryagin lift），表示为问题。
现在要离散化问题，这会产生问题，其中 表示离散化的点数。为了方便起见，有需要证明下式成立：
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