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N点的离散傅立叶变换可以用一个的矩阵乘法来表示，即，其中是原始的输入信号，是经过离散傅立叶变换得到的输出信号。
其中是的次方根的主值（primitive nth root of unity）,大小为。需要注意的是在总和前面的正规化因数，还有中指数的正负号是依据惯例，并且会因为处理的方法有所不同。以下所有的讨论考虑到大多数的细节变动且不论是否为一般惯例均适用之。唯一重要的是，正变换和逆变换有相反的指数正负号标志，而其正规化因数乘积为。然而，这里为了使得最后的离散傅立叶变换矩阵结果正规化所选择的因数 ，在许多情况下都是通用的。
快速傅立叶变换演算法利用矩阵的对称性与W的周期性，以减少乘法所需要的时间（把计算复杂度从降为）。类似的方法也可适用于其他矩阵乘法如阿达马矩阵和沃尔什矩阵。
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赫尔曼·冯·萨尔扎出生于图林根的方伯家庭，可能在巴特朗根萨尔察的Dryburg城堡。与图林根的路易三世伯爵一起，他可能已经参加了1189至91年的阿卡围攻。他还可能与伯爵赫尔曼一世和亨内堡伯爵奥托·冯·博腾劳本一起参加了1197年的十字军东征，并见证了耶路撒冷国王阿马尔里克二世的加冕典礼。十字军东征在亨利六世去世后中止，此后条顿骑士团在大团长海因里希·沃尔波特·冯·巴森海姆的领导下重新建立为军事修会，以确保被征服的圣地的庄园。赫尔曼加入骑士团的确切时间尚不清楚，但他于1210年首次在布赖恩的约翰伯爵加冕为耶路撒冷国王时以大团长的身份出现。因此，他可能在第一次加入时曾在地中海地区待过一段时间。在此期间，骑士团的活动从西班牙扩展到了利沃尼亚。
赫尔曼是霍亨斯陶芬王朝皇帝腓特烈二世的朋友和顾问，从1222年起，他在教皇法庭担任调解员。教皇何诺三世也承认赫尔曼的能力，并授予条顿骑士团与医院骑士团和圣殿骑士团同等的地位，改变了此前条顿骑士团在之前的大团长统治下衰落的势头。
回到欧洲后，赫尔曼帮助结束了钥匙之战并解除了腓特烈的绝罚。随后，马祖里亚的康拉德一世要求他与异教的古普鲁士人作战。在赫尔曼获得教皇和皇帝的批准后，骑士们于1230年开始了漫长的普鲁士基督教化运动。赫尔曼随后与教皇或皇帝的访问为骑士团带来了新的特权和捐款。1237年，他还获得了将利沃尼亚宝剑骑士团并入条顿骑士团的机会。赫尔曼作为教皇格里高利九世与皇帝之间的调解人的重要性可以从腓特烈与教皇之间的所有交流中看出。
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查理于1506年继承了低地国家和弗朗什-孔泰。十年后，他强悍的外祖父斐迪南二世去世，他继承了一片巨大领地的，这片领地包括他母亲的卡斯蒂利亚的胡安娜一世和斐迪南二世共同统治的阿拉贡、纳瓦拉、格拉纳达、那不勒斯、西西里、撒丁，以及整个西属美洲（在他统治时期，西班牙在美洲的殖民地由于征服墨西哥和秘鲁扩大了好几倍）。但事实上胡安娜女王已经被斐迪南二世架空，并以精神失常为由关在托德西利亚斯王宫的圣克拉拉修道院。
1517年，卡洛斯一世在登基之初拜访了被囚禁的母亲胡安娜女王，获其授权成为共治国王，于是成为西班牙、西西里、那不勒斯、纳瓦拉等国的国王。名义上这些国家由胡安娜和卡洛斯母子共治，但胡安娜却仍被关在修道院里，并不被视为统治者。
卡斯蒂利亚方面认为生于根特的卡洛斯是外来君主，并不接纳。1518年卡斯蒂利亚议会宣布承认卡洛斯为国王，但向其提出了一系列要求，包括如学习西班牙语、尊重胡安娜女王的权利等。另外，刚抵达西班牙的卡洛斯还必须与其他争取自治的城市作战。一些西班牙贵族则对他在卡斯蒂利亚为一些佛兰德人安插官职感到不满。1520年，各路反对者发动公社暴动来营救胡安娜，意图拥立为唯一君主并废黜卡洛斯。胡安娜虽然同情暴动者但不愿儿子下台，拒绝签署支持他们的文件。暴动最终被镇压。为防胡安娜日后再度被反对者利用，卡洛斯将其关在一个没有窗户的房间。由此一个顺从而强大的西班牙成为他日后在欧洲争霸的基础。他持续拓展西班牙的绝对君主制，并以之建立称霸欧洲的西班牙帝国。
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