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其中代表边收缩：令所连接的两个顶点计为和，而边收缩会使顶点和合并成一个新的顶点，并使原本与和相连的所有边都连到。
证明 假设所连接的两个顶点为和，考虑图。
* 当和的颜色相同时，这种着色方式也是的一种合理着色方式，反之亦然。所以对图将和染上相同颜色的着色方式有种。
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乔伊纳德也是一名冲浪者、皮划艇运动员和猎鹰者，特别喜欢Tenkara fishing。他撰写了有关攀登问题和道德的文章，以及将环境保护主义与商业相结合的文章。
乔伊纳德的父亲是一位法裔加拿大的杂工、机械师和水管工。1947年，他与家人从缅因州刘易斯顿搬到了南加州。他早期的攀登伙伴罗亚尔·罗宾斯和Tom Frost。乔伊纳德是塞拉俱乐部成员，年轻时创立了南加州猎鹰俱乐部，正是他对隼Bird nest的调查促使他开始攀岩。为了省钱，最后开始创业的他决定制作自己的攀登工具，并自学锻造。
1971年，乔伊纳德与玛琳达·彭诺耶（Malinda Pennoyer）结婚。育有一子一女。
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穆萨德·巴尔扎尼在1979年接替他的父亲，前库尔德民族主义领导人穆斯塔法·巴尔扎尼（Mustafa Barzani），成为库尔德斯坦民主党的领导人。
1995年，伊拉克政府请求他协助从现任伊拉克总统，同为库尔德人的贾拉勒·塔拉巴尼领导的库尔德斯坦爱国联盟手中夺回城市阿尔贝拉。在这次行动中，塔拉巴尼得到了伊朗方面的支援。之后，巴尔扎尼和塔拉巴尼都利用土耳其外交护照进入土耳其境内。
巴尔扎尼率领库尔德民主党在伊拉克库尔德地区与库尔德斯坦爱国联盟建立了一个联合政府。之后，在美国入侵伊拉克以后，他成为伊拉克临时管理委员会的成员，并于2004年4月担任临管会主席。2005年6月，他由伊拉克库尔德议会选举担任伊拉克库尔德斯坦的总统。
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