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为了使分析易于处理，通常假设集合有固定基数并且观察到的数据是从数据的所有子集的集合中随机均匀采样 。为了进一步简化分析，假设由伯努利采样构造，即每个数据都以概率被观察到。如果设为，其中是的期望基数，是矩阵的维数（不失一般性，使）， 随有高概率上界，因此伯努利采样是均匀采样的一个很好的近似。 另一种简化是假设数据是独立采样的并且带有替换。
假设我们正在尝试恢复的矩阵 （ ) 为秩-r。 我们应该知道信息理论下界即必须观测到多少数据才能实现对矩阵的唯一重建。秩小于等于r的维矩阵的集合是在空间上一个代数变量，其空间维数为。利用这个结论，可以证明当时上的矩阵还原问题要有唯一解必须至少要有个数据输入。
第二，矩阵的每一行每一列必须至少有一个观察值。矩阵的奇异值分解为。如果第行未被观察，容易看到矩阵的第个右奇异向量可以改变为任意值并且仍然从可以观测数据中得到一个匹配的矩阵。同理，如果第列未被观察，矩阵的第个左奇异向量可以是任意的。
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任昉（R），字彦升，小字阿堆，乐安博昌（今山东寿光）人。南朝梁文学家。
自幼“聪明神悟”，四岁能诵诗，八岁能文，“雅善属文，尤长载笔，声闻借甚。”叔父任晷夸他“吾家千里驹也。”南朝宋时，举兖州秀才，拜太常博士。入齐为王俭所重，任丹阳尹刘秉的主簿（办公室主任）、竟陵王记室参军，官至中书侍郎、司徒右长史，梁时历任义兴（今江苏宜兴县）、新安（今浙江淳安县）太守。一生仕宋、齐、梁三代，为官清廉，仁爱恤民，离开义兴时，“舟中惟有绢七匹，米五石而已”。天监七年（508年）卒于官舍，家中仅有桃花米20石。梁武帝萧衍“悲不自胜”，“即日举哀，哭之甚恸”。任昉卒后，子孙流离寒窘，几无以自存，未见其生前故友伸援。刘峻乃作《广绝交论》以讥之。到溉早年受到任昉提拔，见此《广绝交论》非常愤怒，抱恨终身。
任昉写文章时擅长表、奏、书、启等文体，文格壮丽，“起草即成，不加点窜”，而同期的沈约以诗著称，时人称「任笔沈诗」。沈约称任防“心为学府，辞同锦肆。”王融“自谓无对当时”，可是一见任昉之作，似“恍然若失”。王俭见其笔札，“必三复殷勤，以为当时无辈，曰：‘自傅季友以来，始复见于任子。若孔门是用，其入室升堂。’”又与沈约、王僧儒同为三大藏书家。竟陵八友之一。作《奏弹范镇》文，他反对范缜的“神灭论”。著有《述异记》2卷、《杂传》247卷、《地理书钞》9卷，《地记》252卷、《文集》23卷、《文章缘起》1卷等。
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目前对于柏拉图《书信篇》的真实性，学界的意见包括：
* 某些学者认为全部为伪作，这一论点在19世纪广为支持。
* 绝大多数学者同意第一、十二篇为伪作，然而其他篇章均有认为是真实作品的声音。
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