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* 除了Stasheff的例子和上面这个平凡的例子之外，陈国才和Kadeishvili利用流形的微分形式也构造了一些A无穷的例子，其中陈国才的构造更为深刻，成为有理同伦论（rational homotopy theory）中一个重要的理论。给定一个流形，考虑它上面的微分形式，这是一个微分分次代数（differential graded algebra, DGA），同时我们还可以考虑它的上同调，赋以一个平凡的微分，则它也形成一个微分分次代数。但是这两个微分分次代数不是链等价的！比如说，根据霍奇理论我们可以把上同调用调和形式作为代表，这种不等价性表现在两个调和形式的外积不一定是调和的。根据霍奇分解，我们可以把这种乘积再投射到调和形式里面去，但是这样定义出来的乘法却不再是结合的，但是在同伦的意义下结合。以此，我们实际上得到了一种A无穷代数。这就是陈国才和Kadeishvili以及后来研究者的基本思路，但是陈国才走的更远，他实际上揭示了这种A无穷代数跟流形的环路空间的拓扑之间的关系，以及这些A无穷代数的在某些情况下的退化跟流形本身的一些拓扑障碍有关系，跟Sullivan后来研究流形的形式化（formality）有相似之处。
Stasheff的A无穷代数的概念自然地出现在关于一般代数结构的分解（resolution）的理论中。给定一个代数结构，我们希望能够通过对它的分解看清其中的结构（对比于流形，这样分解就是波斯尼科夫塔）。这其中，所谓的科祖分解是一种非常有效的分解方式，而A无穷代数则非常自然地出现在结合代数的Koszul分解过程当中：对于一个结合代数，它的科祖分解有一个A无穷代数结构，而这个A无穷代数的科祖分解又是一个A无穷代数，如此不已。但是，原来的结合代数和两次科祖分解后得到的A无穷代数实际上是链等价的，第二个分解和第四个分解也是如此，如此循环。这就是所谓的科祖对偶（Koszul duality）的概念。
对于李代数和交换代数，我们同样可以进行科祖分解。一个李代数的科祖分解有一个C无穷代数（C是交换commutativity的英文缩写）结构，而一个交换代数的科祖分解有一个李无穷代数结构。所谓李无穷代数和C无穷代数，正如A无穷代数一样，他们的同调分别是李代数和交换代数。李代数和交换代数分别是一种特殊的李无穷代数和C无穷代数。由一个李代数经过科祖分解后到C无穷代数然后再经科祖分解到李无穷代数，所得的这两个李无穷代数实际上是同伦等价的，对于交换代数也是如此。因此我们可以说，李代数和交换代数是相互科祖对偶的。这个结论实际上是奎伦在有理同伦论中发现的，他还证明，在有理系数下，这两个代数组成的范畴都和拓扑中的有理同伦型（rational homotopy type）组成的范畴是等价的（有一些单连通性条件）。后来 Sullivan通过考察流形的微分形式，得到了类似的结果，但是更几何，更直观。
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* 2012年10月6日：此剧于下午14:30在尖沙咀美丽华商场《Cool Guide》记者会
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