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如果读者熟悉余代数的概念，那么考虑的元素度数降低1然后生成的张量代数，记为。上有一个自然的余积，为从而使成为一个上代数。上的一个A无穷代数结构就是上的一个余导子（coderivation）并且满足。关于这两个定义的等价性证明可以参考下面 Markl-Shnider-Stasheff 的书。

Stasheff是怎样得到A无穷代数的结构的呢？我们下面以一个具体的例子，同时也是Stasheff所考虑的原型来说明。设是一个拓扑空间，为其上一点。记称为的环路空间（based loop space）。在上我们可以定义一种乘法，如下：任给，

回忆学习基本群的时候，我们都验证过这样的乘法并不是结合的，但在同伦意义下是结合的：不难构造这样的同伦，记为，使得。对于里面的4个元素，我们有下面五种乘法，他们是相互同伦的，如下图所示：图中1表示恒同映射。这样我们就得到了一个以圆周为参数的一串从到的映射。事实上因为这些映射的像都是重合的，因而我们实际上可以把这一串映射延拓到以为边的圆盘上，即为同伦之间的同伦，记为。如此一直进行下去，我们就得到，等等。在链水平上，我们把对应的映射记为，则不难看出就是满足上面A无穷代数定义的那些算子。

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作为托勒密埃及的传统，身为一个独身的女王应该去找一位王夫，并立为共治的国王，但贝勒尼基四世没有这么做。她的朝臣强迫她与塞琉古国王塞琉古七世结婚，但她这位新娘却把塞琉古七世勒死，这样一来她仍然是埃及唯一的统治者。她的臣民因为担心王国的国祚会因贝勒尼基四世近似愚蠢的坚持而断绝，也认为贝勒尼基四世太重视服饰和奢华，使宫廷的开销增大。最终贝勒尼基四世最后在统治的六个月前，她终于与一位名为阿基劳斯（Archelaus）的男子结婚，但阿基劳斯是否有被立为共治国王，这一点仍有些争论。阿基劳斯曾经被罗马大将庞培任命为卡帕多细亚境内科马纳·潘提卡（Comana Pontica）的圣职人员，他并宣称自己是本都国王米特里达梯六世的儿子，然而斯特拉波却说他是米特里达梯六世的将军阿基劳斯之子。

在前55年，她的父亲托勒密十二世在罗马将军奥卢斯·加比尼乌斯帮助下反攻回国内，并砍了贝勒尼基四世的头，结束她的统治。根据斯特拉波的说法，她的丈夫阿基劳斯虽然早前与加比尼乌斯有良好的友谊，但在与加比尼乌斯的军队作战中战死。

* 斯特拉波 12.3.34 and 17.1.11

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