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兰州，中国古代设置的一个州，治所在今甘肃省兰州市。

隋文帝开皇三年（583年），因金城郡城南有皋兰山，改金城郡为兰州，置兰州总管府，治所在子城县（后改为金城县、五泉县，今甘肃省兰州市）。大业三年（607年），改兰州为金城郡。管理今兰州市、临洮县等地。唐朝武德二年（619年）复置兰州。辖境相当于今兰州市附近。天宝、至德年间一度改为金城郡。宝应元年（762年），兰州被吐蕃所占。大中二年（848年），张义潮收复陇右十一州，不久又被党项族占据。

北宋元丰年间，恢复兰州，管理今兰州市、榆中县等地。元朝属于陕西行省。明代洪武年间为兰县。成化年间恢复兰州，不辖县，属于陕西承宣布政使司。兰州隶属临洮府，兰州卫属陕西都指挥使司。清朝康熙五年（1666年），陕甘分治，设甘肃行省，省会定于兰州，兰州自此成为甘肃的政治中心。乾隆三年（1738年），临洮府治由狄道移至兰州，改称兰州府；设皋兰县为治所，管理今兰州市、榆中县、临洮县、靖远县、渭源县、临夏市。

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对G的任意顶点v1，因G连通，故v1到G的任意顶点都存在简单路径。由于G存在无穷个顶点，故存在从v1出发的一个无穷的简单路径集。考虑这个无穷简单路径集。因v1的度有限，故该无穷集必然有一个无穷子集通过v1的某个相邻顶点v2。同理，考察通过v1、v2的该无穷简单路径子集，因v2的度有限，故这些无穷简单路径又存在一无穷子集通过v2的某个相邻顶点v3，注意v3≠v1。以此类推，可得一无穷简单路径v1v2v3...。

* 上述证明为非构造证明，只说明存在性，但没有给出计算该路径的算法（事实上，该算法不存在）。

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