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16至18世纪的空想社会主义都带有不同的禁欲主义色彩，有的甚至公开鼓吹戒绝一切享受的、苦修苦炼的斯巴达式的生活。到了19世纪初期，禁欲主义已经失去得以存在的条件，这时的空想社会主义者批判禁欲主义，对未来理想社会的高度物质和文化生活水准作了富有吸引力的宏伟想像。

从托马斯·莫尔开始，许多空想社会主义者都注意到城乡对立、脑力劳动和体力劳动对立的问题。罗伯特·欧文主张，把城市和乡村结合起来，把工业和农业结合起来，把脑力劳动和体力劳动结合起来。

空想社会主义的发展经历了3个阶段：16世纪至17世纪、18世纪和19世纪初，共经历了300多年。3个阶段的社会和历史条件各不相同，无产阶级的发展水准也不同。

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* 由于之间距离为，则中一定存在一条连接的路径，且的长度（其包含的边的数量）为，如图1所示。此时考虑中的邻居，一定满足。这是因为对于在中已经有到长度为的路径，而如果还存在其他路径长度小于，那么也存在到的路径长度小于，与矛盾。于是对于，根据归纳假设，存在至少2条连接的内部不相交路径。于是构成了一个环，如图2所示。

* * 如果，即已经在这个环上，如图3所示，则对于与这两个环上的点，它们之间也存在环上两条相反的绕行方向的路径，于是与存在两条内部不相交的路径。

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