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* 除了Stasheff的例子和上面这个平凡的例子之外,陈国才和Kadeishvili利用流形的微分形式也构造了一些A无穷的例子,其中陈国才的构造更为深刻,成为有理同伦论(rational homotopy theory)中一个重要的理论。给定一个流形,考虑它上面的微分形式,这是一个微分分次代数(differential graded algebra, DGA),同时我们还可以考虑它的上同调,赋以一个平凡的微分,则它也形成一个微分分次代数。但是这两个微分分次代数不是链等价的!比如说,根据霍奇理论我们可以把上同调用调和形式作为代表,这种不等价性表现在两个调和形式的外积不一定是调和的。根据霍奇分解,我们可以把这种乘积再投射到调和形式里面去,但是这样定义出来的乘法却不再是结合的,但是在同伦的意义下结合。以此,我们实际上得到了一种A无穷代数。这就是陈国才和Kadeishvili以及后来研究者的基本思路,但是陈国才走的更远,他实际上揭示了这种A无穷代数跟流形的环路空间的拓扑之间的关系,以及这些A无穷代数的在某些情况下的退化跟流形本身的一些拓扑障碍有关系,跟Sullivan后来研究流形的形式化(formality)有相似之处。
Stasheff的A无穷代数的概念自然地出现在关于一般代数结构的分解(resolution)的理论中。给定一个代数结构,我们希望能够通过对它的分解看清其中的结构(对比于流形,这样分解就是波斯尼科夫塔)。这其中,所谓的科祖分解是一种非常有效的分解方式,而A无穷代数则非常自然地出现在结合代数的Koszul分解过程当中:对于一个结合代数,它的科祖分解有一个A无穷代数结构,而这个A无穷代数的科祖分解又是一个A无穷代数,如此不已。但是,原来的结合代数和两次科祖分解后得到的A无穷代数实际上是链等价的,第二个分解和第四个分解也是如此,如此循环。这就是所谓的科祖对偶(Koszul duality)的概念。
对于李代数和交换代数,我们同样可以进行科祖分解。一个李代数的科祖分解有一个C无穷代数(C是交换commutativity的英文缩写)结构,而一个交换代数的科祖分解有一个李无穷代数结构。所谓李无穷代数和C无穷代数,正如A无穷代数一样,他们的同调分别是李代数和交换代数。李代数和交换代数分别是一种特殊的李无穷代数和C无穷代数。由一个李代数经过科祖分解后到C无穷代数然后再经科祖分解到李无穷代数,所得的这两个李无穷代数实际上是同伦等价的,对于交换代数也是如此。因此我们可以说,李代数和交换代数是相互科祖对偶的。这个结论实际上是奎伦在有理同伦论中发现的,他还证明,在有理系数下,这两个代数组成的范畴都和拓扑中的有理同伦型(rational homotopy type)组成的范畴是等价的(有一些单连通性条件)。后来 Sullivan通过考察流形的微分形式,得到了类似的结果,但是更几何,更直观。
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科学世界(Science World)是一个在加拿大卑诗省温哥华营运科学博物馆的非牟利机构。
其主场馆是一座位于福溪东端的球型屋顶建筑,邻近架空列车缅街-科学世界站,于1986年世界博览会期间作大会中心建筑之用。主场馆于2004年获电讯公司研科斥资900万加元冠名赞助,遂改称研科科学世界(Telus World of Science),但机构名称则维持为「科学世界」。除了福溪主场馆外,科学世界还于列治文时代坊商场设有卫星课室,并不时派遣外展团队到省内其他城镇推广科学教育。
科学世界的2010/11年度入场人数约为65万人次。
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第七天在楚玛尔河,他们抓获了马占林(马占林饰)一家和其他部分偷猎者,甚至失手射死了一个小伙子,队长为他超度。而后队员又粗暴讯问,尕玉甚至一度想阻止,最后问出了枪手已经逃走。尕玉在与马占林的谈话中了解到:马占林原是牧民,因土地荒漠化不得已帮偷猎者剥皮,一张皮5元钱。他说得很轻松。
第十天马占林带着三个儿子逃走,追来的队员患了肺水肿。被抓获的马占林主动让他的儿子为队员缓解了病痛。队长让刘栋(亓亮饰)带病人就医,但是钱不够,只得卖藏羚羊皮。而后食物和汽油又短缺,队长只得放了马占林一伙。马占林声称自己太老走不出去了(后来事实证明一大批犯人死亡),队长却告诉他“那是他的命”,但仍用藏语祝他“一路平安,长命百岁”。后来另一辆车报废,队长只得丢下三名队员等刘栋来救。路上尕玉问队长他们是否卖藏羚羊皮,队长承认“大部分上缴”,“经费都自己解决”。
刘栋向他的三陪女友借了钱去救队友,女友带着担心和伤心走了,刘栋拿着女友的钱,却被可可西里的流沙吞没。日泰和尕玉翻过雪山,却被偷猎者的枪手包围。马占林向日泰介绍他的老板,说他是一个“很好的人”(试图缓和气氛),但日泰却说他希望“枪留下,人跟我走”。老板嘲笑他,他挥拳把老板打翻在地,却被老板像杀藏羚羊般杀死。马占林告诉老板尕玉“不是日泰的人”,还告诉尕玉顺着他们的脚印可以上公路。最后马占林站在日泰身边,看着他好一会儿才离开。
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