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武都王杨后起在486年去世后，南齐下诏以杨集始为北秦州刺史、武都王，以杨后起之弟杨后明为白水太守，北魏亦以集始为武都王、南秦州刺史。
492年，杨集始入侵汉中，被齐梁州刺史阴智伯军击败，俘斩数千人，集始退回武兴，向北魏请降，魏以集始为南秦州刺史、汉中郡侯、武兴王。495年，杨集始联同北魏军进攻汉中，不过杨集始军被支持南齐的沮水氐人杨馥之打败，馥之进占武兴。魏军撤退后，杨馥之留弟杨昌之守武兴，自引兵据仇池。南齐以杨馥之为北秦州刺史、仇池公。497年，北魏的南梁州刺史杨灵珍举地降齐，出动步骑万余人攻击魏武兴王杨集始，杀其二弟集同、集众，集始见形势不妙，向齐请降。后来魏军攻占武兴，杨灵珍逃到汉中，齐以他为北梁州刺史、仇池公、武都王。499年，齐以杨集始为北秦州刺史。
500年，杨集始率领万余人自汉中北出，企图收复以往失地，却被魏梁州刺史杨椿游说，集始遂与其部属千余人降魏，魏人恢复他的爵位，使他返回武兴驻守。503年，杨集始去世，魏立其世子杨绍先为武兴王。
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这种方法里，必须先把最小值括在一个范围内，也就是说这个算法必须能够找到 和 使得要找的最小值在它们之间。接着通过计算这个区间内部的两个点 和 ，把区间分成几个子区间，抛弃掉外面两个点中与 和 中函数值更小的那个点不相邻的那一个。接下来的每一步中，只需要计算 额外的一个内部的点。在各种划分区间的方法中， 黄金分割法是一种特别简单而高效的方法，它的划分比例在搜索进行中始终保持不变。
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