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容斥原理用多个集合各自的大小，及其任何组合之交的大小，表示出该些集合并集的大小。对于仅得两个集合的情况，容斥原理断言：两集合之并的大小，等于与大小之和，减去交集的大小（因为该些元素重复数了两次）。
除法原理讲述，若有一事要用某辅助程序就能完成，而有种方式做该辅助程序，但对于原来的事而言，每种解决方法对应辅助程序的种方法，则原来的事合共有种方法。
要证明两类物件数量相等时，可以用双射法，即构造两类物件的集合之间的双射（一一对应关系）。
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窦毅的父亲窦岳早逝，窦毅功勋卓著后，朝廷追赠大将军、冀州刺史。窦毅为人沉着持重，侍奉父母以孝闻名。魏孝武帝元修初，窦毅以员外散骑侍郎为起家官。当时高欢独揽朝政，窦毅激愤的有为君主而死的志向。
等到魏孝武帝西迁关中，窦毅跟随入关，封奉高县子，食邑六百户，出任符玺郎。窦毅跟随俘虏窦泰，收复弘农，参与沙苑之战，都有战功。窦毅出任右将军、太中大夫，进为侯爵，增加食邑一千户，屡次升任持节、抚军将军、通直散骑常侍。西魏废帝二年（552年），窦毅出任车骑大将军、仪同三司、大都督，进爵安武县公，增加食邑一千四百户。西魏恭帝元年（554年），窦毅进授骠骑大将军、开府仪同三司、大都督，改封永安县公，外任豳州刺史。周孝闵帝宇文觉登基，窦毅进爵神武郡公，增加食邑总计五千户。保定三年（563年），窦毅被征召回朝，出任左宫伯，转任小宗伯，很快加大将军。
当时北周和北齐相互争斗，战争每年都发生，双方都结交突厥作为外援。宇文泰时期，突厥已经许诺将女儿嫁到西魏，北齐也也用甜言蜜语和贵重的礼品，派遣使者向突厥求婚。突厥本来贪婪无厌，想要悔婚。朝廷于是命令杨荐等人多次出使突厥，前后十多次，才恢复以前的友好关系。到此时，北周虽然期望前往迎娶，还是害怕突厥另作打算。因为窦毅是有功勋的皇亲国戚，一向威严庄重，就命令窦毅作为使者。保定五年二月辛酉（565年3月25日），周武帝宇文邕诏令陈国公宇文纯、柱国许国公宇文贵、神武公窦毅、南安公杨荐等人，前往突厥可汗的牙帐迎娶皇后。等到窦毅到了突厥，北齐的使者也在那里。突厥君臣还是有二心，窦毅高声正色，以大义责备他们，经过数十天才定下来，最终窦毅带着阿史那皇后返回。朝廷评议嘉奖窦毅，另外封成都县公，食邑一千户，天和六年四月庚子（571年6月1日），窦毅进位柱国。窦毅外任同州刺史，升任蒲州总管，改任金州总管。建德六年（577年）四月，周武帝在平定北齐后返回长安，命令李德林跟随车驾，任命李德林为内史上士。从此之后，诏书文诰的格式以及对崤山以东人士的任用，全部委托给李德林。周武帝曾在云阳宫用鲜卑语对群臣说：“我以前听说李德林的名字，等到见了他给北齐朝廷创作的诏书和檄文，我正以为他是天上人。没想到现在他为我所用，为我制作文书，这真是奇事。”窦毅回答说:“臣听说明王圣主，能得到骐𬴊凤凰等祥瑞，是圣德感应的结果，不是人力所能得到的。神物虽然能来，但没法使用它们。而李德林受到您的任用，也是陛下圣德感应得到的，而且有大才获重用，比骐𬴊凤凰强多了。”周武帝大笑说:“真是你说的这么回事。”
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白川资训本名资训王，在山城国京都出生，是右近卫权中将资敬王的长子。
嘉永二年三月二十九（1849年4月21日）元服，获允升殿，四年八月十四（1851年9月9日）就任神祇伯。安政元年（1854年）京都御所大火时救出神镜，得孝明天皇奖励。同年十二月十八日（1855年2月4日）兼任侍从，又在安政四年五月十五（1857年6月6日）兼任右近卫权少将元治元年八月二十九（1864年9月29日）进官右近卫权中将。
庆应四年正月十七（1868年2月10日）神祇事务科设立，资训王就任神祇事务总督，同年二月二十（1868年3月13日）以神祇事务局总督补任参与和议定。明治二年六月初一（1869年7月9日）取消神祇伯制度，资训王的伯王称号自动消失，同年七月初八（8月15日）就任神祇大副，其后历任神祇官出仕、神祇大掌典、大掌典、式部寮七等出仕兼大掌典和式部寮御用挂，参与宫中祭祀，到1873年11月3日自式部寮御用挂退休。
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