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更新于 2026-10-19

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* 除了Stasheff的例子和上面这个平凡的例子之外,陈国才和Kadeishvili利用流形的微分形式也构造了一些A无穷的例子,其中陈国才的构造更为深刻,成为有理同伦论(rational homotopy theory)中一个重要的理论。给定一个流形,考虑它上面的微分形式,这是一个微分分次代数(differential graded algebra, DGA),同时我们还可以考虑它的上同调,赋以一个平凡的微分,则它也形成一个微分分次代数。但是这两个微分分次代数不是链等价的!比如说,根据霍奇理论我们可以把上同调用调和形式作为代表,这种不等价性表现在两个调和形式的外积不一定是调和的。根据霍奇分解,我们可以把这种乘积再投射到调和形式里面去,但是这样定义出来的乘法却不再是结合的,但是在同伦的意义下结合。以此,我们实际上得到了一种A无穷代数。这就是陈国才和Kadeishvili以及后来研究者的基本思路,但是陈国才走的更远,他实际上揭示了这种A无穷代数跟流形的环路空间的拓扑之间的关系,以及这些A无穷代数的在某些情况下的退化跟流形本身的一些拓扑障碍有关系,跟Sullivan后来研究流形的形式化(formality)有相似之处。

Stasheff的A无穷代数的概念自然地出现在关于一般代数结构的分解(resolution)的理论中。给定一个代数结构,我们希望能够通过对它的分解看清其中的结构(对比于流形,这样分解就是波斯尼科夫塔)。这其中,所谓的科祖分解是一种非常有效的分解方式,而A无穷代数则非常自然地出现在结合代数的Koszul分解过程当中:对于一个结合代数,它的科祖分解有一个A无穷代数结构,而这个A无穷代数的科祖分解又是一个A无穷代数,如此不已。但是,原来的结合代数和两次科祖分解后得到的A无穷代数实际上是链等价的,第二个分解和第四个分解也是如此,如此循环。这就是所谓的科祖对偶(Koszul duality)的概念。

对于李代数和交换代数,我们同样可以进行科祖分解。一个李代数的科祖分解有一个C无穷代数(C是交换commutativity的英文缩写)结构,而一个交换代数的科祖分解有一个李无穷代数结构。所谓李无穷代数和C无穷代数,正如A无穷代数一样,他们的同调分别是李代数和交换代数。李代数和交换代数分别是一种特殊的李无穷代数和C无穷代数。由一个李代数经过科祖分解后到C无穷代数然后再经科祖分解到李无穷代数,所得的这两个李无穷代数实际上是同伦等价的,对于交换代数也是如此。因此我们可以说,李代数和交换代数是相互科祖对偶的。这个结论实际上是奎伦在有理同伦论中发现的,他还证明,在有理系数下,这两个代数组成的范畴都和拓扑中的有理同伦型(rational homotopy type)组成的范畴是等价的(有一些单连通性条件)。后来 Sullivan通过考察流形的微分形式,得到了类似的结果,但是更几何,更直观。

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* XB70的制造商北美航空当时正处于公司危机前夜。XB70采用了和米格25同样的路线,以不锈钢焊接为主制造机体,仅在高温处包覆钛合金件。而XB70“精巧的”钢结构设计一直有缺陷,原型机1号在3倍音速下机翼前端变形小部分撕裂,碎片一次性损毁了全部6台发动机;2号机勉强改善了结构强度得以3倍音速下全身而退,又在撞击事故中坠毁,事发中在轻载、亚音速下陷入的尾旋中左翼大部折断至引擎舱,而美国空军认为XB70缺乏继续改进的余地因而取消了整个计划。北美航空因XB70的失败和1967年阿波罗1号火灾的责任问题,1967年被洛克韦尔兼并。

* 美国通过对米格25照片的分析,发现米格25尤其是原型机外壁光滑平整(后期型为安装各种侦察设备,机首有较随意的并不统一的各种开口,以平头螺丝安装挡板),判读大量采用了先进的焊接技术,而1976年前的实用中表现出米格25坚固可靠,同时又不失高爬升速率等性能,与XB70的表现大相径庭,使美国空军很难相信这是架以钢结构为主的飞机。加上同期苏联在钛合金潜艇方面的独到建树,如1963年始建的papa级核潜艇采用钛合金厚板焊接制造整个承压舱体,诸方面使美方认为俄国人解决了钛合金薄板焊接难题,误认为米格25为钛合金焊接制造。此间CIA通过谍报获得资讯有:设法获取了参与MiG 25研制的高级焊接技师的名单,其中参与了papa级核潜艇焊接工作的高级技师赫然在目;因苏联将MiG 25成百架大批量生产(最终产量逾千架,相对而言A12/YF12/M21/SR71系列总共生产了50架,其中19架坠毁;XB70生产了3架样机,其中第1架强度不足,第2架坠毁,第3架在建中取消),美方在核算了情报获知的苏联钛合金产量、品种和消耗量后,认为还有秘密的钛合金生产基地供应MiG 25的生产,因此曾寻找此并不存在的保密城市。直到1976年拆解别连科的米格25才解决了这个疑团,80%为镍钢,仅使用了9%的钛。然而镍钢焊接仍令美国空军叹为观止,焊缝总长达4至5公里,焊接的机身强度很高,以致后来美国陆军试图以60吨的M1A1碾压俘获的伊拉克米格机,M1A1却沿机翼开上了机背。

总上,米格自然不是一款和铝合金飞机比亚音速缠斗的飞机,也不像SR71,原计划接替U-2以高速长程掠过苏联广阔的大地,后因防空导弹的迅猛发展从未进入苏联领空而仅以小国为目标。米格25是一款坚固可靠,大批装备可且由普通飞行员着一般抗荷服即可驾驶,能随时起飞(紧急起飞仅须2分钟;相对而言SR71紧急起飞须15分钟,包括加注1/3燃料,引擎暖机,以及利用飞机准备时间,飞行员穿上类似宇航服、自带小型应急氧气供应手提箱的全封闭飞行服),起飞后即能高速达到指定区域飞到指定高度并立即对敌方展开攻击的区域截击机。对原设计意图米格25做得很好,以致于首飞27年后凭老旧的雷达,笨拙的机体仍能超越晚辈,在伊拉克防空体系的混乱中单枪匹马击落F18,成为伊空军击落美国战机的唯一。对抗中米格25的真空管雷达因其低信噪比而以高功率弥补的特点,反而比北约机包括较远距离的预警机有效过滤了北约在战场施放的电磁干扰,也未与北约机缠斗,而是持续以略低于2倍音速的超音速围绕以亚音速巡航的北约机群外围兜圈,令北约护卫战机知道其存在却未得连续跟踪。找到机会后冲入距北约机群约30公里以最重量级空对空导弹(R40,同级另只有R33, AIM54)击落F18。

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近年「追溯修订」较为频繁的影视作品有漫威电影宇宙系列电影。

* 2017年 《蜘蛛人:返校日》 上映后,主演汤姆·霍兰回应粉丝所提出的理论,与漫威影业总裁 凯文·费吉确认在2010年《钢铁人2》中在机械士兵大闹史塔克博览会现场时,那名头戴钢铁人头盔面具的小男孩,其实是彼得·帕克。

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