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在微观经济学中，消费者的间接效用函数（Indirect utility function）定义为满足预算约束时的最大效用，记为。
如果效用函数u是连续的严格递增的函数，那么间接效用函数：
如果价格是常数，则间接效用函数是支出函数的反函数，也即对任意价格向量和效用水平都有：106。
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北魏置千牛备身，手执千牛宝刀，作为皇帝的扈卫侍从。北齐时千牛备身属领左右府，六品。隋朝千牛备身属左、右领左右府，各十二人，正六品。东宫也设太子千牛备身，属左、右内率，八人，正七品。隋炀帝大业三年（607年）改左、右领左右府为左、右备身府，千牛备身改称千牛左右。唐太宗贞观年间，复设左、右领左右府，千牛备身的官名也恢复。唐高宗龙朔二年（662年），改千牛备身为左右奉裕（左右奉御），咸亨元年（670年）恢复千牛备身。垂拱二年（686年）再改为奉裕，神龙元年（705年）再恢复千牛备身。左、右各置十二人。都用高荫子弟年少貌美之人补任，花钿绣服，绿衣，执象笏，是世族起家为官的良选。宋朝初年为荫补出身之一，由兵部设籍掌管。
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宣化博物馆有出土文物1,300多件，馆藏国家一级、二级、三级文物共100余件。全年免费开放。博物馆所在的察哈尔民主政府旧址是第七批全国重点文物保护单位。
宣化博物馆2006年10月18日挂牌开馆后，馆舍一直处于部分维修改造中。2010年6月，博物馆与北京艾克赛尔国际展览公司签约整改博物馆展陈。2011年2月11日，重新布展的宣化博物馆开馆，有《千年古城铸辉煌——宣化历史文化陈列展》和《红色察哈尔——察哈尔省民主政府专题展》两个常设展览。
博物馆的藏品中，包括下八里墓群张文藻墓出土的辽代葡萄酒，葡萄酒出土时装在一只黑釉鸡腿瓶中，呈红棕色液体，经鉴定为葡萄酒。宣化区万字会村的一座战国墓葬中出土了一件青铜提梁壶，壶中盛有战国时酿造的白酒，壶和酒也在宣化博物馆展出。展出的文物还有下八里辽代墓群出土的“真容偶像”。
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