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为了证明它，可以构建两个不同的没有交集的集合并排成一个有序序列（可以通过有序序列的有序性，使得下标和值一一对应），通过构造值和对应下标的一一对应的关系，证明任意一个正整数对应的值属于且仅属于两个集合中的一个，而对应两个集合的下标集合正是 和 。
需要考虑如下：对于正整数 和 而言，有分数 和 形成的序列。这两个序列对应的的集合没有交集，且容易证明序列本身没有重复元素。
没有交集可以利用反证法，证明两个数 ，有 ，那么满足：，因为 属于无理数，故 也属于无理数，不能被两个有理数的比来进行表示，矛盾故它们形成的集合没有交集。
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根据10世纪的编年史《Theophanes Continuatus》（其编年文献后来几乎没有改动就被11世纪历史学家John Skylitzes重复使用），在拜占庭皇帝巴西尔一世的统治早期，克里特埃米尔，克里特酋长国创建者Abu Hafs Umar al-Iqritishi（Abu Hafs Umar al-Iqritishi）的儿子Shu'ayb ibn Umar（希腊语称“Saet”）派遣一位拜占庭叛变者，被称为“一个好战的、精力充沛的家伙”的佛提乌，对拜占庭帝国发起了一次大规模的突袭远征。佛提乌领导的舰队有50艘舰船，包括27艘重型舰船（称为koumbaria）以及很多轻型的桨帆船。
这艘舰队对爱琴海沿岸进行了洗劫，肆意劫掠并将俘虏当做奴隶贩卖，他们甚至侵入马尔马拉海中距君士坦丁堡不远的马尔马拉岛，这是自717-718年的第二次君士坦丁堡之围以来第一次有穆斯林舰队如此接近拜占庭首都。拜占庭派出Droungarios of the Fleet带领舰队，在萨罗斯湾附近的卡尔迪亚与穆斯林舰队相遇并进行了交战。拜占庭舰队使用希腊火摧毁了20艘穆斯林舰船，并迫使其余的人逃回克里特岛，获得了重大胜利。
在这场惨败后过了一段时间，佛提乌再次带领舰队进攻希腊，但尼基塔斯再次追上了他并摧毁了他的舰队，杀死了佛提乌。这些交战发生的日期依旧不清楚，德国历史学家Ekkehard Eickhoff和希腊历史学家迪米特里斯·通格拉基斯（Dimitris Tsoungarakis）认为卡尔迪亚战役的发生时间在872年，而美国拜占庭学家沃伦·崔德戈德、约翰·普赖尔（John Pryor）以及牛津大学教授Elizabeth Jeffreys认为战役发生于873年。
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