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更新于 2026-10-20

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曲面上某个区域的高斯曲率的曲面积分称为总曲率。测地三角形(即黎曼球面几何中的三角形)的总曲率等于它的内角和与的差。正曲率曲面上的三角形的内角和大于,而负曲率曲面上的三角形的内角和小于。零曲率曲面上(如欧几里得平面),其内角和等于。

高斯的绝妙定理断言曲面的高斯曲率由曲面上长度的测量本身决定。事实上,它完全由第一基本形式决定并且可以用第一基本形式及其一阶和二阶偏导数表达。等价地,嵌入在R3中的曲面的第二基本形式的行列式也可以这样表达。定理的"绝妙"之处在于,虽然R3中的曲面S上的高斯曲率的定义明显依赖于曲面各点在空间中的定位,而高斯曲率本身只要曲面上的内在度量就可以决定,而与环境空间没有进一步的关联:它是一个内蕴不变量。精确地讲,高斯曲率在曲面的等度变换下保持不变。

在现代微分几何中,"曲面"抽象的看来是一个二维微分流形。将这个观点和曲面的经典理论联系起来的是将抽象曲面嵌入到R3中,并用第一基本形式赋予黎曼度量。假设这个嵌入在R3中的像是曲面S。局域等度就是R3中的开区域之间的微分同胚f: U → V,限制到S ∩ U就是到自己的像的等度变换。绝妙定理可以如下表述:

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* 2010年10月16日,17路更换为21部福达FZ6890UF3G3型柴油空调公交车

* 2011年1月1日,17路启用泉通卡刷卡制度

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2020年夏季奥林匹克运动会帆船男子双人小艇49人型比赛,是因2019冠状病毒病疫情而延期至2021年举行的第32届夏季奥林匹克运动会的其中一个比赛小项,于2021年7月27日至8月3日在神奈川县藤泽市江之岛游艇港口进行。比赛原定结束日期为2021年8月2日,后因场地风力问题推迟一天结束。

英国组合迪伦·弗莱彻和斯图尔特·比瑟尔及新西兰组合彼得·伯林和布莱尔·图克奖牌轮后均累积58分净分,其中Fletcher和Bithell凭借在奖牌轮首个冲线而获得金牌,成为首对在该小项上获得奥运金牌的英国组合,伯林和图克则获得银牌,无缘卫冕。德国组合埃里克·海尔和托马斯·普勒塞尔及西班牙组合Diego Botín和Iago López奖牌轮后均累积70分净分,其中海尔和普勒塞尔因在奖牌轮早于Botín和López冲线而获得铜牌,这是海尔和普勒塞尔连续第二次获得该小项奥运奖牌。

十二轮过后,取每队净分(即去除最差一轮得分后的总分)作为排名依据,总分越低排名越高,前十名队伍晋级奖牌轮,奖牌轮得分无法去除。

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