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为了使分析易于处理，通常假设集合有固定基数并且观察到的数据是从数据的所有子集的集合中随机均匀采样 。为了进一步简化分析，假设由伯努利采样构造，即每个数据都以概率被观察到。如果设为，其中是的期望基数，是矩阵的维数（不失一般性，使）， 随有高概率上界，因此伯努利采样是均匀采样的一个很好的近似。 另一种简化是假设数据是独立采样的并且带有替换。
假设我们正在尝试恢复的矩阵 （ ) 为秩-r。 我们应该知道信息理论下界即必须观测到多少数据才能实现对矩阵的唯一重建。秩小于等于r的维矩阵的集合是在空间上一个代数变量，其空间维数为。利用这个结论，可以证明当时上的矩阵还原问题要有唯一解必须至少要有个数据输入。
第二，矩阵的每一行每一列必须至少有一个观察值。矩阵的奇异值分解为。如果第行未被观察，容易看到矩阵的第个右奇异向量可以改变为任意值并且仍然从可以观测数据中得到一个匹配的矩阵。同理，如果第列未被观察，矩阵的第个左奇异向量可以是任意的。
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胡柳陂之战，918年（后梁贞明四年、晋天祐十五年）八月至十二月，五代十国后梁与晋国（后唐）在胡柳陂（今河南省濮阳县东南）受挫先败后胜的作战。
918年八月，晋王李存勗攻后梁国都汴梁，集合魏州、幽州、沧州、景州、邢州、易州、定州、麟州（治新秦县，今陕西省神木市北）、胜州（治榆林县，今内蒙古准格尔旗东北十二连城）、云州、蔚州、新州、武州等州和河东节度使、魏博节度使所属十万兵马，从魏州抵达杨刘，分兵攻打后梁郓州、濮州（今山东省鄄城县北旧城），然后沿黄河而上，驻军濮州境内麻家渡。后梁北面行营招讨使贺瓌、北面行营排阵使谢彦章驻军濮州北行台村，坚守不战，两军相持一百多天。贺瓌听信诬告，杀了谢彦章，李存勗闻讯大喜。十二月初一日，晋王李存勗率军前进，扎营在离梁军十里之处。十二月十九日，唐军中所有老弱将士被晋王派回魏州，十二月二十一日，晋军毁掉营寨，晋王率大军撇开梁军主力，绕过贺瓌的梁军阵地，直指汴梁。十二月二十三日，晋军到达濮阳东的胡柳陂。十二月二十四日早晨，梁军跟来，晋军这时立栅设营。晋军卢龙节度使周德威建议以逸待劳，用骑兵骚扰后梁军，让他们得不到休息，然后趁其疲惫，一举歼灭。李存勗没有采纳，拍李存审押粮先行，亲率大军决战梁军。梁军被李存勗击败，退到濮阳的骑兵在途中和晋军先行辎重遭遇，晋辎重军阵乱，梁军乘势进攻。晋军击退梁军，但三分之二士卒损失，周德威阵亡。李存勗在高丘集结士兵。到了中午，梁军也占陂中土山，李存勗率骑兵攻打立足未稳的梁军。梁军迫到土山西侧列阵自固。李存勗连夜突袭，从正面出击，派李嗣昭率兵迂回到土山北侧，突击梁军。梁军战败，死伤近三万。晋军也伤亡惨重，无力再攻汴梁，于是回师。
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过去在令制国时代属于近江国伊香郡，在江户时代大部分都属于彦根藩和幕府直属的领地，此外也有少部分区域属于淀藩、膳所藩、饭野藩，而此地的幕府直属领则是由位于滋贺郡大津的大津奉行负责管理。
19世纪末明治维新后，原先的幕府直属领先后改隶属大津裁判所及大津县，在1871年实施废藩置县后，原属各藩的区域改隶彦根县、淀县、膳所县；不过在仅四个月之后的府县整并中，全数区域都被并入长滨县，此后经历更名为犬上县后，在1872年底，犬上县又与当时负责近江国南部区域的滋贺县合并为现在的滋贺县。
1889年日本实施町村制，设立余吴村，1954年余吴村与北侧山区内的丹生村和片冈村合并新设立的余吴村，1971年升格为余吴町；2000年代日本政府启动平成大合并，因此在2010年与周边位于湖北区域的虎姬町、湖北町、木之本町、西浅井町、高月町一同并入长滨市。
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