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就如同三阶六边形镶嵌，每一个三阶无限边形镶嵌都有三种半正表面涂色，皆属于不同的反射三角群域：
即使无限边形的边数已经是最多的了，但仍可以利用伪多边形群构造更多边数的图形，即边数使用虚数表示其所包含的边数量比无限大还要多。他们的对偶为超无限阶三角形镶嵌，其阶数也是以iπ/λ表示，代表其阶数比无限大还要多，同样属于非紧凑的双曲镶嵌，并且有无穷多种组合（整个虚数集）。
虽然是变为「超无限边形」，但其实际上是变为角度大于180度角，表示其图形的中心超过无穷远处，即图形不封闭了，也表示三阶超无限边形镶嵌中的超无限边形并不存在实质的中心点(对偶的超无限阶顶点并不存在)，如同二阶超无限边形镶嵌中，超无限边形的中心因退化而不存在的情形，此超无限边形也是类似的情形。但由于镶嵌中的多阶顶点的角度必须是小于180度角，因此严格来说，那些超无限边形的中心点并不存在。
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特劳恩于1876年出生于汉堡的一个富裕家庭，他的父亲海因里希·特劳恩（Heinrich Traun）是一家天然橡胶制造公司的老板，1901年至1908年期间成为汉堡的参议员。1885年，特劳恩在德累斯顿工业大学学习化学。同年秋季，他参加了一场由柏林和汉堡运动员参加的田径比赛，并以半英里的赛距赢得比赛。
1896年，特劳恩参加在雅典举办的第一届现代奥运会，他参加男子800米预赛，以第三名成绩未能进入决赛。此外他还参加网球比赛，在男子单打比赛中特劳恩在第一轮被英国的约翰·博兰击败，后者最终赢得金牌；在双打网球比赛中，特劳恩与博兰合作双打搭档，他们在第一轮中击败希腊组合Aristidis Akratopoulos及Konstantinos Akratopoulos，准决赛轮空晋级决赛；在决赛中，他们击败迪米特里奥斯·卡斯达格利斯及德米特里奥斯·彼得罗科基诺斯组合，赢得自己首面奥运金牌。1897年，特劳恩参加在巴登-巴登举行的田径比赛，成为第一位在跳远项目中达到超过六米的德国选手。
1899年特劳恩博士学位毕业，在巴黎索邦大学担任科学家两年后，他决定加入父亲的公司。1902年，特劳恩前往美国出差，拜访公司在长岛的分支公司。隔年冬天，他感染肺结核病，根据卡尔·舒尔茨的建议，特劳恩于1903年春天在乔治亚州奥古斯塔的一家旅馆度过一段时间，然后返回德国。由于他的病情没有完全康复，特劳恩在接下来的几年大部分时间都待在阿尔卑斯山渡假胜地度过，如圣莫里茨和达沃斯。康复后他担任体育记者和比赛组织者的工作，1906年他担任汉堡的德国网球锦标赛总监，并于1907年担任其裁判。同年，他在基尔期间认识来自美因茨的企业家威廉·普里托里厄斯（Wilhelm Preetorius）的女儿Friedel Preetorius（1884-1938） 。隔年三月，他们在汉堡结婚。
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