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杭州联合农村商业银行股份有限公司，简称杭州联合银行，由杭州联合农村合作银行改制而来，注册资本13.12亿元，成立于2011年1月5日，2011年3月12日正式挂牌开业，总行设在杭州。
杭州联合银行是一家服务于“三农”、社区、中小企业和地方经济的股份制金融机构，以支持“三农”和地方经济发展为己任。截至2016年末，资产总额达1443.87亿元，存款余额1077.68亿元，贷款余额757.25亿元。在《银行家》公布的2009、2010年度全国农村合作银行综合竞争力排名中，该行连续两年位列第一位。
联合银行的营业网点主要分布在杭州市各地。2010年1月，杭州联合银行的首家异地支行——海宁支行正式开业，之后又相继成立了安吉支行、萧山支行。2011年12月，杭州联合银行新疆阿克苏分行开业，迈出了跨省经营的第一步。
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战后三叉庄改制为三叉乡，隶属于新竹县，大字亦改制为村。1950年桃、竹、苗分治，三叉乡改隶属于重新成立的苗栗县。1953年11月，改名为三义乡。
本地区发展较早的聚落有草藔、大坑、大湖、大坑尾、水尾、上湖、打澜江等，在日治期初期的官方地图上已有记载。此外，本地区尚有赖厝、双草湖聚落。
台铁山线大致以北偏东—南偏西走向转北北西—南南东走向再转纵向经过双草湖地区中部偏东地带。境内南部设有三义车站，属三等站，仅停靠区间车，是成追线区间车及少部分纵贯线区间车的折返点。
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考虑的一个仅得个交叉的画法。可以在每个交叉删走其中一条边，从而消除所有交叉。于是，剩下的边组成一幅平面图（因为不再有交叉），其边数至少为，顶点数则仍旧为。根据平面图的欧拉公式，，所以上述估计成立。（更准确来说，对于，有。）
有了上述引理，就可以利用probabilistic method证明原来的交叉数不等式。设为待定的概率参数，依如下步骤构造的随机子图：1. 以概率独立随机选取的各个顶点；2. 若中一条边的两个顶点皆被选中，则在子图中构造连接这两个顶点的边。分别以、和表示的边数、顶点数和交叉数。由于是的子图，的画法已含有的画法。由引理，得
由于中每个顶点选入中的概率为，有。类似知中每条边入选的概率为（因为其两端皆要入选），所以。最后，在的画法中，每个交叉有的概率落入，因为每个交叉牵涉四个顶点。（若从同一个顶点出发画出两条边有交叉，则不妨将两条边第一次相交以后的部分对调，从而令交叉的数目变少。由于所考虑的画法仅得个交叉，无法再减少交叉，所以每个交叉必由两条无公共端点的边组成。）因此，，于是上式可写成
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