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更新于 2026-10-08

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回忆学习基本群的时候,我们都验证过这样的乘法并不是结合的,但在同伦意义下是结合的:不难构造这样的同伦,记为,使得。对于里面的4个元素,我们有下面五种乘法,他们是相互同伦的,如下图所示:图中1表示恒同映射。这样我们就得到了一个以圆周为参数的一串从到的映射。事实上因为这些映射的像都是重合的,因而我们实际上可以把这一串映射延拓到以为边的圆盘上,即为同伦之间的同伦,记为。如此一直进行下去,我们就得到,等等。在链水平上,我们把对应的映射记为,则不难看出就是满足上面A无穷代数定义的那些算子。

* 一个平凡的例子是,任何一个(微分分次)结合代数都是一个A无穷代数。这里只要令都等于0就行了。

* 除了Stasheff的例子和上面这个平凡的例子之外,陈国才和Kadeishvili利用流形的微分形式也构造了一些A无穷的例子,其中陈国才的构造更为深刻,成为有理同伦论(rational homotopy theory)中一个重要的理论。给定一个流形,考虑它上面的微分形式,这是一个微分分次代数(differential graded algebra, DGA),同时我们还可以考虑它的上同调,赋以一个平凡的微分,则它也形成一个微分分次代数。但是这两个微分分次代数不是链等价的!比如说,根据霍奇理论我们可以把上同调用调和形式作为代表,这种不等价性表现在两个调和形式的外积不一定是调和的。根据霍奇分解,我们可以把这种乘积再投射到调和形式里面去,但是这样定义出来的乘法却不再是结合的,但是在同伦的意义下结合。以此,我们实际上得到了一种A无穷代数。这就是陈国才和Kadeishvili以及后来研究者的基本思路,但是陈国才走的更远,他实际上揭示了这种A无穷代数跟流形的环路空间的拓扑之间的关系,以及这些A无穷代数的在某些情况下的退化跟流形本身的一些拓扑障碍有关系,跟Sullivan后来研究流形的形式化(formality)有相似之处。

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* 2019年10月13日,26名北区中学生在反修例罢买行动期间,因牵涉刑事毁坏而被捕,当中亦包括此校学生。

* 2020年6月中,此校被传有发烧跨境学生仍然来港上课,导致部分家长恐慌,因而纷纷为子女告假。及后,校方透过官方网页及通告作出澄清,表示并无此事,而同日因病请假的学生亦无人染疫。

* 陈至君:香港电视财经节目主持人,现任无线电视新闻及资讯部,亦曾任职now TV、DBC数码电台,前《智富通》主持

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《初学记》,唐代官修类书,30卷,23部,313个子目。唐代徐坚、张说、韦述等编集。

《初学记》原为唐玄宗诸皇子作文时检查事类之用。开元十六年正月,学士徐坚等撰成《初学记》三十卷,体例略仿《艺文类聚》,但不尽相同,先为叙事,次为事对,最后诗文。《初学记》分天、岁时、地、州郡、帝王、中宫、储宫、帝戚、职官、礼、乐、人、政理、文、武、道释、居处、器物、宝器、果木、兽、鸟等二十三部。《四库全书总目提要》谓之:“在唐人类书中,博不及《艺文类聚》,而精则胜之,若《北堂书钞》及《六帖》,则出此书之下远矣。”

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