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明末民变，刘芳亮早年追随李自成，为闯军重要将领之一，早期活动不详。
崇祯十六年三月，李自成在襄阳定军制，刘芳亮任左营制将军。八月，明三边总督孙传庭率明军入河南，刘芳亮、袁宗第分率左右营伏击明军。九月二十二日，李自成与孙传庭在南阳会战，刘芳亮等率军设三道伏兵合击，明军大败。随后，刘芳亮随李自成入关中，连克耀州、同官、洛川、绥德，进抵米脂。克榆林后，李过率军北上攻府谷，刘芳亮率军西攻庆阳。崇祯十七年（1644年），李自成西安建国，大封功臣，刘芳亮封磁侯。
随后，李自成发动灭明战争，亲率大顺军直取京师。南路刘芳亮率左营及陈永福、刘忠迂回进攻京师。刘芳亮率军东进阳城，越过太行山，东出固关后，真定知府丘茂华、游击谢素福出降，大学士李建泰在保定投降。入北京，占领大名府，“布州县伪官，毒掠缙绅”。
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整体域与局部域相对，整体域对一赋值作完备化便成为局部域。局部域上的分析较为简单；数学家通常先由局部域入手，再透过阿代尔环之构造研究整体情形。
戴德金与安里西·韦伯在19世纪末首先发现了数域与黎曼曲面的类比； 类比于复射影直线 ，有限扩张类比于分歧覆叠。安德烈·韦伊在1940年提出代数曲线的黎曼猜想，可视作此想法的进一步发展。
代数数论关心的课题原是数域，然而许多猜想或定理都有函数域上的类比，而后者技术上通常比较简单。因此，研究函数域有助于启示或厘清数域的情形。模型论上也有手法能将一些函数域的性质转移至数域。
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