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譬如,在群论中,术语“定义良好”经常用于处理陪集时,陪集空间上的函数经常选取一个代表来定义:这时非常重要的是验证无论选取陪集的哪个代表,就像算术运算一样(比如,加总是)我们总得到同样的结果。
只要 ,则定义有意义,从而 在 上定义良好。函数在 上有不同定义域,应该视为不同的映射 ,尽管这种差别通常被忽略。以这种观点来看,我们说 是定义良好的如果图表交换,即 穿过 ,使得,这里 是典范投影映射 。
作为一个例子,考虑实数如下定义的等价关系: 如果存在整数 使得,这里 为圆周率。商集 可以和一个圆周等价,作为等价类 表示一个角度(事实上这是 的加法子群 的陪集空间 )。现在如果 是正弦函数,则 是定义良好的;但是如果 则 不是定义良好的。
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活泼而不过快(Bewegt, doch nicht schnell)的终乐章,回归E大调,三个主题的倒装奏鸣曲式。第一主题可视为第一乐章第一主题的活泼版变奏,第二主题也与第一乐章第二主题类似,但从降A大调开始呈现。第三主题为第一主题的变奏,从A小调开始,运用了布鲁克纳招牌的乐队集体强奏。发展部轻快短暂,基于第一主题,更类似过渡段落。之后三个主题倒装,逆序再现。定音鼓在第二主题再现部分进行短暂的弱奏,并在尾声中回归,作用与第一乐章尾声相似(渐强的持续低音)。尾声结合了弦乐颤音、铜管合奏等贯穿全曲的布鲁克纳式配器技巧,并让第一乐章与本乐章的第一主题互相交织作结。时长约12分钟。
* 1883年版:首演使用的版本,但唯一留存下来的手稿包含了布鲁克纳、其弟子等人的修改,使得这个版本的原始样貌无从得知,也未能出版。
* 1885年古德曼版:在1884年的首演之后,乐曲又经过了一些改动,并于1885年由古德曼出版。在这段时间里,布鲁克纳的弟子亚瑟·尼基什、弗朗兹·肖克和费迪南德·洛维提供意见,让布鲁克纳对乐曲进行修改。但学界仍对布鲁克纳是否认同这些改动保持怀疑。主要的改动都在配器和节奏方面。
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