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设为微分流形，为上一点。利用上的仿射联络，可以定义过点的测地线。
设为于点的切向量，则独有一条测地线满足，而初始切向量为。对应的指数映射由
定义。一般而言，指数映射不必在全个有定义，而衹有局部定义，即定义域是原点的小邻域，映到在流形上的某邻域内。原因是，测地线之所以存在（和唯一），藉赖常微分方程解的柯西-利普希茨定理，但该定理是仅在局部成立。若指数映射在切丛处处有定义，则该线性联络称为完备。
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赫茨普龙最初是一位化学工程师，专门研究照相技术。他也是一位天文爱好者。他曾在哥廷根大学及波茨坦天文台工作。1919年，获聘为莱顿大学天文台副台长，并于1935年晋升为台长。
他最早提出绝对星等的概念；1905年提出恒星有巨星和矮星之分。1913年他以统计视差的方式对数颗造父变星的距离进行研究。他还注意到了恒星颜色和亮度之间的关系，他的这个发现最初并没有引起人们的重视，直到美国天文学家亨利·诺利斯·罗素发表了他的发现之后，人们才重视起他的研究成果，也因此，恒星光谱光度图被称为赫罗图。
为纪念他对天文学的贡献，小行星1693及月球上的一个环形山，均以他的名字命名。
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岳家军至少有十二统制「军」：1.背嵬军；2.前军；3.右军；4.中军；5.左军；6.后军；7.游奕军；8.踏白军；9.选锋军；10.胜捷军；11.破敌军；12.水军。其中背嵬军是绝对主力，名字取自韩世忠的同名统制军；游奕是巡回的意思；踏白是武装侦察的意思；其他军名都是增长士气的军号。
据绍兴九年（1139年）统计，这十二军共有22名统制、5名统领和252名将官分别率领，其中有正将、副将和准备将各84名。王贵任中军统制，张宪任前军统制，这二人是岳飞的副手，岳飞不在时可代替岳飞指挥其他统制，主持岳家军全军的事务；徐庆、牛皋和董先三人最为善战；此五人是岳家军的中坚人物。
宋高宗绍兴三年（1133年），岳飞所部神武后军二万三千人，月支钱十二万三千余贯、米一万四千五百余石。翌年（1134年），岳飞收复襄阳六郡，临行前预支金五千两、银十万两、钱二十万贯、米六万石，战事结束后已支钱九十七万五千贯、米三十三万石，大大超过预计。绍兴八年（1138年），岳飞所部行营后护军十万人，月支钱五十六万贯、米七万余石，另有经营收入每年一百五十八万余贯、营田稻谷十八万余石，以佐军用。
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