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应用庞特里亚金最小化原理时，最常见的困难点是当哈密顿量和控制 有线性关系时，也就是，而且控制有其上下限。为了使有最小值，需要尽可能的将增加到最大，或是减少到最小，依的符号而异：
若有时为正，有时为负，偶尔是0，则其解相当的直接，即为起停式控制，当由负切到正时，控制由切换到。
若在一段有限时间内均为0，则称为奇异控制。在和之间，哈密顿量对的最大化无法提供有关解的资讯，这段期间的解需要透过其他的资讯来求得。
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此时也因传教出现了新科技：羊皮纸用以取代莎草纸。
4世纪基督教社群开始出现，分歧产生于领导阶层能否是平信徒以及必须禁欲，他们企图把罗马在公、私领域的传统抹去，企图心与亲属之间的亲情在拉扯，能否和异教徒联姻成为主要课题，这与之后教士是否需要单独身的议题并不相同，在古典时代晚期基督教有时接受没有婚姻的性关系，以期规范在都市的教士，独身已经和现实脱节，都市教士已经融入都市上流阶级中的菁英，限制婚姻不符实际传教需求。
古典时代晚期的政治以及社会基础围绕著罗马帝国而变迁。
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在1761年至1776年，主教座堂改建为巴洛克风格，增加了高大的钟楼。1776年，天主之母的神奇画像举行加冕仪式，放到了正祭台上。1892–1898圣所改建为新哥特式，并安装了花窗玻璃。1910年，主教座堂成为宗座圣殿。
拉丁主教座堂是苏联时期利沃夫仅有的两座未被关闭也不属于莫斯科牧首的教堂之一（另一座是罗马天主教圣安多尼教堂），但是这一时期主教住在波兰东南部靠近乌克兰边境的Lubaczów。1991年，教宗若望保禄二世恢复了教区。
二战以后，神奇的画像被移到克拉科夫，1974年移到Lubaczów，1983年再次加冕光明山修道院 目前仍留在 Lubaczów.利沃夫主教座堂目前拥有一个复制品，2001年6月26日教宗若望保禄二世对乌克兰进行牧灵访问时为其加冕。
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