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更新于 2026-10-05

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Stasheff的A无穷代数的概念自然地出现在关于一般代数结构的分解(resolution)的理论中。给定一个代数结构,我们希望能够通过对它的分解看清其中的结构(对比于流形,这样分解就是波斯尼科夫塔)。这其中,所谓的科祖分解是一种非常有效的分解方式,而A无穷代数则非常自然地出现在结合代数的Koszul分解过程当中:对于一个结合代数,它的科祖分解有一个A无穷代数结构,而这个A无穷代数的科祖分解又是一个A无穷代数,如此不已。但是,原来的结合代数和两次科祖分解后得到的A无穷代数实际上是链等价的,第二个分解和第四个分解也是如此,如此循环。这就是所谓的科祖对偶(Koszul duality)的概念。

对于李代数和交换代数,我们同样可以进行科祖分解。一个李代数的科祖分解有一个C无穷代数(C是交换commutativity的英文缩写)结构,而一个交换代数的科祖分解有一个李无穷代数结构。所谓李无穷代数和C无穷代数,正如A无穷代数一样,他们的同调分别是李代数和交换代数。李代数和交换代数分别是一种特殊的李无穷代数和C无穷代数。由一个李代数经过科祖分解后到C无穷代数然后再经科祖分解到李无穷代数,所得的这两个李无穷代数实际上是同伦等价的,对于交换代数也是如此。因此我们可以说,李代数和交换代数是相互科祖对偶的。这个结论实际上是奎伦在有理同伦论中发现的,他还证明,在有理系数下,这两个代数组成的范畴都和拓扑中的有理同伦型(rational homotopy type)组成的范畴是等价的(有一些单连通性条件)。后来 Sullivan通过考察流形的微分形式,得到了类似的结果,但是更几何,更直观。

考虑一个范畴。对于其中的四个对象及其之间态射我们有这显示了这些态射之间有一种结合性。一个A无穷范畴就是打破这些结合性,使之成为在同伦意义下是结合的,同时有高阶同伦算子,成为同伦的同伦,同伦的同伦的同伦,等等。因此一个A无穷范畴并不是一个范畴,而是同伦意义下的范畴:它的“同调”形成一个范畴。

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王永宁,原名王盈祥,陕西省宜君县人。中国人民解放军中将。

1940年3月,王永宁参加八路军并任陕西鄜县警卫1旅青年干校学员、宣传员,后改任冀察热辽军区政治部文工团团员,文工团分队长,干事,工作队队长。1948年,历任第13兵团政治部组织部干事,第13兵团休养所政治教导员,广西军区政治部组织部干事,中国人民解放军第49军145师政治部组织科副科长、处副主任、主任、团政治委员、师政治部主任等职位。1969年至1975年底,任广州军区政治部宣传部部长,后任成都军区副政委,率部参加中越战争。1998年3月,第九届全国人大第一次会议上,他当选全国人民代表大会常务委员会委员

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2018年12月6日,BBC宣布客串Charlotte Ritchie、Nikesh Patel和丹尼尔·阿德戈耶加出演本新年特辑。

在系列11最后一集《兰斯库·阿瓦·克罗斯之战》播出之后,BBC播出了新年特辑的第一支预告片。

《新年决心》是《异世奇人》在2019年播出的唯一一集,后续的系列12预定于2020年初开播。类似于系列11的第1集《天外来客》,本集在首播时没有出现片头,标题出现在整个正片播放完成之后。

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